Incastri semplici

Si tratta di forme geometriche (cerchi, quadrati, rettangoli, trapezi, rombi) in legno che possono essere alloggiate negli incastri di medesima forma. Le figure possono essere di stessa forma e spessore ma di dimensioni diverse. Inizialmente ideati da Séguin, sono stati poi ripensati e modificati da Maria Montessori allo scopo di adattarli alle nuove esigenze (M-09). Consistono in incastri che si possono inserire perfettamente in una cornice quadrata, muniti di un pomello per la presa a tre dita. Ogni incastro può essere collocato esattamente solo nella propria cornice. L’esercizio, perciò, porta a una comparazione continua tra le forme, e a un controllo materiale su identità e differenze. Per la prima presentazione si utilizzano le forme più regolari e contrastanti tra loro: un triangolo equilatero, un cerchio e un quadrato. Maria Montessori ha pensato ad una cassettiera nella quale potessero essere inseriti i vari telai in cui inserire le singole piastrelle delle forme da incastrare. I due oggetti, incastro e cornice, sono opposti: la cornice ha dal lato esterno sempre la stessa forma (un quadrato), invece gli incastri hanno contorni esterni diversissimi (triangolo, rettangolo, cerchio, pentagono, ecc.). Il quadrato delle cornici ha però incavi di contorno diversissimi, corrispondenti a quelli delle forme degli incastri. Come per altri materiali, anche per gli incastri piani il bambino avrà la possibilità di accorgersi da solo dell’eventuale errore e di correggerlo autonomamente.
In seguito (M-14), Maria Montessori confermerà la composizione del materiale che consiste in sei cassetti posti uno sull’altro, all’interno di ognuno dei quali si trovano sei cornici (di legno) quadrate al cui interno sono incastrate al centro figure geometriche ognuna munita di un bottoncino per poterla afferrare. Precisamente:

• cassetto 1: sei cerchi a diametro differente;
• cassetto 2: un quadrato e cinque rettangoli di uguale altezza e larghezza decrescente;
• cassetto 3: sei triangoli che variano secondo gli angoli (equilatero, isoscele, scaleno, rettangolo, ottusangolo, acutangolo);
• cassetto 4: sei poligoni regolari (dal pentagono al decagono);
• cassetto 5: figure diverse: un ovale, un’elisse, un rombo, un romboide, un trapezio;
• cassetto 6: quattro piastrelle “senza nessun incastro geometrico e senza alcun bottone; con due altre figure geometriche a linee curve” (M-14). Segue poi dettagliata spiegazione per il suo impiego.

Incastri composti

Una volta arrivati alla scuola elementare, i bambini troveranno gli stessi incastri che tuttavia hanno subito una modifica: le figure sono divise.
Una prima serie di incastri è composta da undici incastri quadrati tutti di 10 cm di lato. La loro composizione è la seguente:

• un quadrato è intero;
• un quadrato è diviso in due rettangoli uguali;
• un altro è diviso in quattro quadrati uguali fra loro;
• un altro è composta da otto rettangoli uguali tra loro;
• un altro da otto rettangoli uguali fra loro;
• un altro è composto da sedici quadrati uguali fra loro;
• un altro è composto da due triangoli uguali fra loro;
• un altro da quattro triangoli uguali fra loro;
• un altro da otto triangoli uguali fra loro; un altro da sedici triangoli uguali fra loro (M-16). 

I bambini possono svolgere diverse attività, come ad esempio prendere il quadrato diviso in due rettangoli e quello diviso in due triangoli e scambiare le figure: lo scopo è di scoprire l’uguaglianza delle superfici attraverso la sovrapposizione. È possibile scoprire anche i rapporti di equivalenza, come ad esempio cogliere che la metà di un rettangolo equivale a due quadrati. Il bambino potrà scoprire anche le figure simili, vale a dire le figure uguali per forma ma di dimensioni diverse. Va ricordato anche che nella divisione del quadrato c’è l’idea intuitiva di frazione.
La seconda serie di incastri è funzionale all’acquisizione del concetto di frazione. Si tratta sempre di undici piastrelle che hanno come fondo un circolo del diametro di 10 centimetri. Il primo circolo è intero, ma gli altri sono divisi in 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 spicchi uguali fra loro. L’impiego dei circoli serve per misurare in gradi gli angoli (nel circolo diviso in due ognuno di essi è di 180 gradi, e così via, pari a ½ di 360°; così, a seguire, il circolo diviso in tre gli spicchi hanno il rapporto di 1/3, pari a 120° e così via). Un altro materiale proposto da Maria Montessori è rappresentato da un circolo sulla cui circonferenza sono indicati i segni della divisione in 10 parti ognuna delle quali a sua volta è suddivisa in 10 parti: lo strumento è utile ad introdurre le frazioni decimali.
La terza serie di incastri riguarda le figure equivalenti. Si tratta di diversi incastri costituiti da figure (quadrati, rettangoli, triangoli) suddivisi in modo da contenere i concetti di equivalenza e frazione, come ad esempio la riduzione di un triangolo in un. Rettangolo equivalente o viceversa, il rombo diviso in due triangoli, il rombo diviso in tre triangoli che formano un rettangolo regolare e viceversa, la riduzione di un trapezio in un rettangolo equivalente. Operazioni simili si possono fare con altri incastri geometrici, come i pezzi di incastro di un decagono scomposto in 10 triangoli (uno dei quali a sua volta diviso in due) che forma un rettangolo equivalente. In modo simile, è possibile raffigurare con gli incastri il teorema di Pitagora utilizzando i quadrati di un triangolo rettangolo e sia dimostrare l’equivalenza, sia scoprire la molteplicità di combinazioni possibili.
Una quarta serie di incastri riguarda la divisione del triangolo. Si tratta di quattro piastre uguali che hanno che hanno come fondo un triangolo equilatero del lato di 10 cm. Il primo triangolo è intero; il secondo è composto da due triangoli rettangoli scaleni, ognuno metà del triangolo equilatero; il terzo è diviso in tre parti dalla bisettrice dei tre angoli ormando così tre triangoli ottusangoli isosceli; il quarto è composto da quattro triangoli equilateri.